関 勝寿

t検定が小標本でも正規性さえ満たせば頑健だと語られるとき、頑健性という語がそもそも何を指すのかを確認しておく必要があります。頑健性とは一般に、仮定からの逸脱に対して有意水準や検出力がどれだけ変化しにくいかという性質を指すものであって、中心極限定理による漸近的な収束だけを指す言葉ではありません。 1908年にウィリアム・ゴセットがギネスビール社の品質管理のために考案し、会社の規定で実名を出せずStudentという名で発表したのがこの検定です。母集団の標準偏差が未知のとき、標本標準偏差で代用することの不確実性を、自由度に応じて裾が厚くなるt分布という形に組み込んだ点が、既知の分散を前提にするz検定との違いです。 ここでよく語られる頑健性の説明は、サンプルサイズが大きければ母集団の分布形状によらず標本平均の分布が正規分布に近づく、という中心極限定理の帰結に寄りかかっています。ただしこの帰結自体、母集団の分散が有限であるという条件の上に立っています。母集団がコーシー分布であれば、標本平均はサンプルサイズをいくら増やしてもコーシー分布のままで、正規分布には近づきません。この場合、t統計量に正規近似やt分布近似を当てはめる根拠そのものが失われます。頑健性を語るとき、どんな非正規分布でも大標本なら大丈夫だという言い方は、この分散という前提を飛ばしています。 小標本の場合についても、非正規なら一律にt検定が機能しないと言い切るのは言い過ぎです。分布が対称で有界な非正規分布、たとえば一様分布のような場合には、標本数が少なくてもt検定の有意水準の実際の値が公称の水準から大きくずれにくいことが知られています。崩れやすいのは、分布が非対称だったり、裾が極端に重かったり、外れ値が混じっていたりする場合です。正規性という仮定は古典的なt分布による有限標本での厳密な正しさを保証する条件であり、頑健性はその仮定が崩れたときにどれだけ結果が持ちこたえるかという、別の軸の性質だと分けて考えたほうが正確なはずです。 さらに、母集団が正規分布であれば小標本でもt検定が無条件に成立するというのも限定が足りません。独立な2標本を比較する通常のStudentのt検定では、両群がともに正規分布に従うことに加えて、2群の分散が等しいという等分散性が別途必要です。標本数が5対20のように偏り、かつ2群の分散が大きく異なる設定では、両群を合わせた分散を使う統計量は帰無仮説のもとで想定されるt分布に従わず、検定の有意水準がずれます。1標本検定か、対応のある検定か、等分散を仮定するStudentの2標本検定か、分散の違いを許すWelchの検定かによって、必要な前提の組み合わせは変わります。 分布の分散が有限かどうか、分布の形が対称かどうか、群ごとの分散が等しいかどうか。頑健性という一語の裏にはこれだけの条件が積み重なっていて、どれか一つを確認しただけで頑健だと判断するのは早計です。パイロット施策のような少数データを扱う場面ほど、この積み重ねのどこを確認し、どこを確認していないのかを意識しておく価値があると思っています。